楔子
几年前一个机缘巧合，让我有机会尝试编写了一个JavaScript版本的德州扑克模拟器，这项工作并没有十分顺利的结束，因为在项目的调试阶段，我发现程序在模拟结果上和市面上现有的扑克模拟工具，以及根据概率论计算的得到牌型概率表，有部分出入，这说明在我代码中的牌型判断逻辑，存在一些错误。
碍于整个牌型判断逻辑比较复杂，我并没有继续深入研究其中原委，而是搁置了下来，但是这个项目让我对概率论产生了浓厚的兴趣。在此之前我已经通过计算机模拟，验证了很多常见的概率问题，比如掷骰子、扔硬币等，直到开发PorbCraft，当完善了骰子模拟器之后，我又萌生了制作一个德州扑克模拟器的念头。
TIP
如果你完全没了解过德州扑克，可以参考维基百科的介绍。我们只是作为概率游戏的一个例子，来讨论其中的概率问题，并不建议你在现实中参与赌博。
这次我从头开始，重新设计牌型判断逻辑，实际的开发时间很短，但思考的时间很长，真正帮助我最终完成整个牌型判断逻辑的关键，是我想明白了一件事：作为一个7张牌选5张组成最大牌型的游戏，判断牌型应该从大往小判断，在牌型大小接近的几种牌型中，四条与葫芦不会和同花同时成立，因为四条和葫芦都需要有3张相同的牌，而同花则需要5张同花色的牌，所以同花成立时，组成四条或葫芦的牌数已经不够了，这个结论可以大大简化牌型判断逻辑和运行效率。
实际测试中，当我用千万次的随机测试来验证我的牌型判断逻辑时，我发现它的判断顺子逻辑有问题。我是怎么确定这个问题存在的呢？答案是通过对照模拟结果和数学概率论的计算结果确定的。顺子的出现概率远低于计算结果，说明我的代码漏掉了一些情况，我很快定位了问题所在，顺子判断逻辑果然存在错误。
下面是在修正了顺子判断逻辑后，模拟100万次的结果：
| 牌型 | 独立事件数量 | 模拟概率 | 理论概率 |
|---|---|---|---|
| 高牌 | 23,294,460 | 17.434% | 17.412% |
| 一对 | 58,627,800 | 43.765% | 43.823% |
| 两对 | 31,433,400 | 23.525% | 23.496% |
| 三条 | 6,461,620 | 4.862% | 4.830% |
| 顺子 | 6,180,020 | 4.627% | 4.619% |
| 同花 | 4,047,644 | 3.024% | 3.025% |
| 葫芦 | 3,473,184 | 2.567% | 2.596% |
| 四条 | 224,848 | 0.166% | 0.168% |
| 同花顺 | 41,584 | 0.030% | 0.0311% |
通过概率表，不难发现德州扑克的牌型大小，正是根据牌型的出现概率大小来决定的。但同时也不难发现一个例外，一对的成牌概率反直觉般比高牌还要大，并且牌型也大，实际游戏中也的确如此。这是因为上面的模拟概率是在52张牌中抽7张的成牌概率，而规则沿用传统的搜哈规则，概率是52张牌抽5张的成牌概率，这两者是不同的。
当然有时候也会认为修改规则，让游戏更刺激，比如短牌德州扑克中，由于去掉了2-5点的牌，导致同花出现概率低于葫芦，顺子的概率高与三条。所以一般短牌中同花牌型比葫芦大，但顺子和三条谁更大要看玩的人如何商量了。
TIP
电影赌侠中的一句台词：「同花打得過full house？除非你爸變成兔子！」 然而在短牌德州扑克中，同花的确打得过full house(葫芦牌型)，因为同花的成牌概率远低于葫芦。
概率游戏
作为一个曾经接触过游戏开发的游戏玩家，我也曾经对游戏的随机性进行过一些思考，随机性和游戏性息息相关，一般棋类游戏由于缺少随机性，一般是硬实力的对抗，不免缺乏乐趣。而随机性过高的游戏，又是纯粹的运气，缺乏策略性，也容易让玩家疲劳。麻将作为一种传统的随机性和策略性兼备的游戏，可谓是经久不衰。
现代电子游戏中，无论是暴击闪避率、开箱子抽卡、还是随机地图生成，都是基于概率的设计，我们可以通过计算机来生成随机数，就像下面这样：
当我们设置了最小值和最大值，点击“生成按钮”就可以得到一个介于这两个值之间的随机数。这个随机数是通过计算机的伪随机数生成器生成的，虽然不是真正的随机数，但对于大多数应用已经足够了。
这里我们思考一下，当我们从1-100中随机抽取一个数，抽到1的概率应该是1/100 = 1%，按照直觉，我们会觉得1%的概率，意味着我们抽100次就至少能抽到1次，很不幸这种直接是不符合实际的。
根据概率论计算，抽100次都没有抽到1的概率是，约等于0.366，也就是说，抽100次都没有抽到1的概率约等于36.6%，而至少抽到1次1的概率就是，约等于63.4%，我们可以模拟一下这个过程：
| 实验次数 | 100次中抽到至少一次1的次数 | 概率 |
| 0 | 0 | - |
请多次点击按钮来模拟抽取的过程，每点击一次，程序会进行100次抽数模拟，然后统计抽到1的次数，最终会得到一个概率，这个概率会随着采样次数的增加逐渐趋近于63.4%。
什么，你说这个概率在跳动？那是你的采样次数太少，增加采样次数，概率就会稳定下来。这是一个看起来简单但却反直觉的事，明明有1%的命中率，但抽100次，确有36.6%的概率抽不到。
很多抽卡游戏之所以要设置保底机制，就是为了弥补实际概率和玩家直觉之间的差距，让玩家有更好的体验，保底机制本质上是一种伪随机概率，这里说的“伪随机”和前文说的“伪随机数”有一些区别。
伪随机和真随机
我们说的真随机数，是指完全不可预测的随机数，比如在现实中掷骰子、扔硬币。计算机生成的随机数，是通过一个确定的算法生成的，这个算法的输入是一个种子，种子不同，生成的随机数序列也不同，但是如果种子相同，生成的随机数序列也是相同的，这种随机数我们称之为伪随机数。伪随机数，理论上是可以预测的，但在我们做计算机仿真的时候，使用伪随机数当作真随机数使用是没有什么问题的，而在计算机加密领域就要慎重了。
所以虽然计算机生成的是伪随机数，但我在文中不会强调“伪”字，这里其实用“赝”随机数更为贴切，后文将省略“伪”字称其为随机数。而前文后提到的“伪随机概率”，是指通过一些机制，让玩家的体验更好，而不是真正的随机概率，就例如抽卡游戏的保底机制，或者是Dota2的暴击率算法，以及你的听歌软件的随机播放算法等。
接下来我们就从听歌软件的随机播放算法开始聊聊这些伪随机概率。
PS：这个网站是干什么的
这个网站是我的应用ProbCraft的补充学习网站，ProbCraft是我开发的一个小品级的iOS随机工具应用，主要功能是模拟掷骰子、扔硬币、抽卡、掷骰子等随机事件，以及一些概率游戏的模拟，比如德州扑克、掷骰子等。应用原本的定位是工具类应用，但随着开发的深入，我更倾向于将其定位为一个概率游戏的学习工具，但应用中如果包含太多的说明内容，会显得臃肿，所以我决定将一些内容放到这个网站中，通过超链接嵌入的方式，从应用中跳转到这个网站，来获取更多的学习内容。